Le problème que Kelly résout
Vous avez trouvé un pari avec un avantage : la cote paie plus que la vraie chance ne le justifie. Combien miser ? Trop peu, et l'avantage ne rapporte rien. Trop, et une mauvaise série vous ruine avant que la loi des grands nombres ait joué. Le critère de Kelly, formulé en 1956 par un chercheur des laboratoires Bell, répond exactement à cette question : c'est la fraction de bankroll qui maximise la croissance à long terme.
La formule
Si p est la vraie probabilité de gagner et c la cote décimale :
Fraction de Kelly = (p × c − 1) / (c − 1)
Le numérateur est l'avantage du pari ; le dénominateur, le gain net par euro misé. Exemple : probabilité 52 %, cote 2,10. Avantage = 0,52 × 2,10 − 1 = 9,2 %. Kelly = 0,092 / 1,10 = 8,4 % de la bankroll. Avec 1 000 €, la mise « Kelly plein » vaut 84 €.
Si l'avantage est nul ou négatif, Kelly donne zéro : on ne mise pas. Le calculateur de Kelly fait le calcul et applique les garde-fous décrits ci-dessous.
Pourquoi personne ne joue Kelly plein
Kelly plein est optimal à condition que la probabilité soit exacte. Or elle ne l'est jamais : même les meilleures estimations ont une incertitude de quelques points. Si vous surestimez votre avantage, Kelly plein vous fait sur-miser, et sur-miser est bien plus grave que sous-miser : une mise double de l'optimum annule toute croissance espérée, et la volatilité est énorme (des chutes de 50 % de bankroll sont courantes).
D'où le Kelly fractionné : on multiplie la fraction par 0,25 à 0,5. Un quart de Kelly conserve environ les trois quarts de la croissance avec une volatilité bien plus faible. C'est le réglage des professionnels. Sur Proba Bet, le profil « Prudent » applique 0,25, « Équilibré » 0,30 et « Agressif » 0,50, et la mise ne dépasse jamais 5 % de la bankroll, quel que soit le calcul.
Kelly sur l'avantage attendu, pas l'avantage brut
Un détail change tout. L'avantage affiché au moment de l'alerte (+9 %) est rarement celui que vous encaissez : la cote va bouger, et une partie de l'écart se referme avant le coup d'envoi. Babeth mesure, sur des milliers de paris, quelle part de l'avantage initial survit jusqu'à la clôture, par horizon et par bookmaker, et calcule la mise sur cet avantage attendu plutôt que sur l'avantage brut. C'est plus petit, et c'est ce qui évite de sur-miser sur les écarts qui ne durent pas.
Exemple complet
Bankroll 1 000 €, profil Équilibré (0,30). Alerte : Lyon @ 2,35, vraie chance 47 %.
- Avantage brut : 0,47 × 2,35 − 1 = +10,5 %
- Avantage attendu (part qui survit à la clôture, disons 60 %) : +6,3 %
- Kelly plein sur l'avantage attendu : 0,063 / 1,35 = 4,7 %
- Fraction 0,30 : 1,4 % → 14 €
Quatorze euros sur mille. Ça paraît timide. C'est exactement ce qui vous permet d'enchaîner des centaines de paris sans jamais mettre la bankroll en danger, et de laisser l'avantage faire son travail.
Une bankroll, une unité
Kelly suppose une bankroll clairement définie : l'argent que vous consacrez aux paris, et rien d'autre. Ni le loyer, ni un compte qui sert à autre chose. Si vous avez plusieurs comptes bookmakers, chacun a sa propre bankroll et sa propre mise ; le plan Sharp gère une bankroll par bookmaker. Le simulateur de bankroll montre, sur 1 000 trajectoires simulées, à quoi ressemblent trois mois avec votre profil de risque : la médiane, les mauvais cas et la baisse maximale à encaisser.
Ce qu'il faut retenir
Kelly ne dit pas quoi jouer, il dit combien. Prenez-en une fraction, plafonnez, calculez sur l'avantage qui survit à la clôture, et ne changez pas de mise après une série de pertes : c'est précisément le moment où la discipline rapporte.